Karen Uhlenbeck - Đơn độc và hạnh phúc trong toán học

Karen Uhlenbeck năm 1969. Ảnh: opc.mfo.de

Không giống những tài năng toán học khác, Karen Uhlenbeck phải lòng môn toán khá muộn. Mãi đến khi vào đại học, Uhlenbeck mới nhận ra trái tim của mình lỡ nhịp như sau này cô thú nhận vì “cấu trúc, sự thanh lịch và vẻ đẹp của toán học”. Vài năm sau, khi đi sâu vào nghiên cứu, người phụ nữ trẻ Uhlenbeck nhận ra còn một điều nữa hết sức phù hợp với cô: làm toán là một nghề cô có thể làm trong đơn độc.

“Tôi coi bất cứ nghề nghiệp nào mà phải làm chung với người khác là một nghề rất tệ” - Uhlenbeck có lần tâm sự.

Trong vật lý có một nguyên lý rất quan trọng có tên gọi “Nguyên lý hành động tối thiểu”. Nguyên lý này cho ta biết chuyển động của một hệ sẽ có quỹ đạo sao cho tất cả giá trị liên quan đến chuyển động phải được sử dụng “tối thiểu”.

Ví dụ như viên bi ở điểm A trên mặt bên của lòng máng, nếu được thả ra nó sẽ chạy tới điểm B ở mặt bên kia theo quỹ đạo là đường cong mà nó di chuyển mất ít thời gian nhất (nhanh nhất) giữa hai điểm.

Đây chính là bài toán “đoản thời” mà Johann Bernoulli đề xuất từ năm 1696. Bài toán của Bernoulli có tên là “Bài toán đoản thời”, một trong những bài toán cổ nhất và nổi tiếng nhất của một lĩnh vực toán tên là “Phép tính biến phân”. Phép tính biến phân xem xét hình dạng (của đối tượng) ở trạng thái cân bằng bền trong tương quan với các đại lượng vật lý có liên quan như năng lượng, kích thước (diện tích).

Karen Uhlenbeck năm 1976. Ảnh: opc.mfo.de

Thầy giáo hướng dẫn của Uhlenbeck khi cô học sau đại học tên là Richard Palais. Palais nghiên cứu một phiên bản hiện đại hơn của bài toán biến phân đoản thời, có tên gọi “Ánh xạ điều hòa”. Khác với bài toán cổ của Bernoulli nghiên cứu quỹ đạo ngắn nhất của chất điểm, bài toán của Palais nghiên cứu “hình dạng” ngắn nhất.

Ví dụ như hình dạng của một màng co dãn được bọc sao cho kín lên một vật thể ba chiều có hình dáng phức tạp, như bọc quanh mặt bên trong của một cái doughnut. Giữa nhiều biến thể (ánh xạ) của tấm màng co dãn lên bề mặt cái bánh, cái màng ấy phải co kéo tối ưu sao cho không để hở mặt bánh, đồng thời phải ở trạng thái cân bằng bền, tức là không tồn tại một trạng thái khác có năng lượng co dãn tiềm năng thấp hơn (năng lượng tối thiểu này được gọi là năng lượng Dirichlet).

Nghiên cứu của Palais dừng lại với thành công ở không gian một chiều. Khi phát triển lên các chiều cao hơn, đặc biệt là ở các không gian nhiều hơn ba chiều, tức là các không gian trừu tượng, khá xa lạ với nhận thức và trải nghiệm không gian thông thường, việc tìm ra nghiệm đơn của bài toán cực kỳ nan giải. Đúng lúc này, ông có nghiên cứu sinh là cô Uhlenbeck.

Karen Uhlenbeck và K. Grove năm 1976. Ảnh: opc.mfo.de

Palais khuyên Uhlenbeck nhảy vào địa hạt mới mẻ và khó được gọi tên này. Địa hạt ấy nằm giữa tam giác hình học, tôpô và giải tích. Uhlenbeck sau này kể lại lúc nhảy vào địa hạt mới mẻ ấy, cô có cảm giác mình như từ boong tàu nhảy xuống vùng nước vô định. Lúc này cô mới ở độ tuổi hai mươi.

Trong những năm 1970, Uhlenbeck lúc này đã là giáo sư toán và ở tuổi U40 (cô sinh năm 1942) có những bước đột phá, đầu tiên là với hình dạng của mặt hai chiều trong không gian ba chiều. Nó giống như một bong bóng xà phòng hình thành từ một màng co dãn rất mỏng. Nó phải tối ưu hóa năng lượng (sức căng mặt ngoài), tối ưu hóa diện tích (diện tích bề mặt bé nhất nhưng bao phủ được không gian lớn nhất, tức hình cầu). Khi các bong bóng va vào nhau, chúng nhập thành một hình dạng khác phức tạp hơn nhưng vẫn tiếp tục giữ cho mình “tối ưu nhất”.

Công trình của Uhlenbeck được cho là xứng đáng nhận giải Fields danh giá, chẳng qua nó quá hẹp nên đến lúc giá trị của nó lan tỏa và được nhìn nhận thì Uhlenbeck đã quá tuổi 40. Đánh giá này không phải là không có cơ sở, nhà toán học Simon Donaldson nhận giải Fields năm 1986 cho công trình dựa trên Uhlenbeck. Đến nay, giải Fields mới trao cho nhà toán học nữ duy nhất là Maryam Mirzakhani - người Iran, mới qua đời năm 2017 ở tuổi 40 vì bệnh nan y.

Karen Uhlenbeck năm 1982. Ảnh: opc.mfo.de

Trong những năm 1980, Uhlenbeck đi xa hơn với các bong bóng màng mỏng của mình, nhưng trong không gian trừu tượng n chiều.

Các kỹ thuật toán học do Uhlenbeck phát triển được các nhà vật lý sử dụng trong vật lý hạt. Bản thân Uhlenbeck cuối những năm 1980 chuyển sang nghiên cứu lý thuyết trường chuẩn (gauge theory), một lý thuyết được ưa thích trong lý thuyết trường lượng tử (quantum field theory). Vì các kỹ thuật mang tính cách mạng trong ngành giải tích hình học của Uhlenbeck có ý nghĩa vật lý như vậy, nên phát kiến của bà được gọi đùa là “bước nhảy lượng tử”. Uhlenbeck cũng được coi là người sáng lập ngành giải tích hình học hiện đại.

Năm 1990, Uhlenbeck bước lên đỉnh cao chuyên môn khi được mời phát biểu ở Đại hội toán học thế giới, tổ chức bốn năm một lần và là nơi trao giải toán học danh giá - giải Fields. Uhlenbeck là người phụ nữ thứ hai có vinh dự này. Trước bà 58 năm, tức năm 1932, nhà toán học nữ đầu tiên phát biểu tại đại hội là Emmy Noether. Có một chút khác biệt với Uhlenbeck - người được tự do theo đuổi lĩnh vực mình yêu thích, cả đời Noether sống trong sự cản trở và kỳ thị của các giáo sư nam giới, từ lúc học toán ở đại học đến khi làm giáo sư và sau này khi Hitler lên nắm quyền. Bất chấp mọi kỳ thị và ngăn cản, Noether vẫn có nhiều đóng góp cho toán học và vật lý. Định lý Noether có nhiều ứng dụng trong vật lý hạt và được coi là một trong những định lý đẹp nhất của tự nhiên.

Karen Uhlenbeck vừa nhận giải Abel.

Cho đến nay, 19 nhà toán học đoạt giải Abel, Nobel của toán học, đều là nam và đều là những tên tuổi lớn: Robert Langlands, Andrew J. Wiles, John F. Nash.Đầu năm nay, ở tuổi 76, Uhlenbeck được trao giải thưởng Abel. Đây là giải toán học tương đối mới, mới 17 năm tuổi. Giải này được xây dựng với cơ chế bình chọn và giá trị giải thưởng tương đương giải Nobel, nó cũng mang ý nghĩa giống giải sự nghiệp trọn đời của Oscar.

Giáo sư Karen Uhlenbeck là nhà toán học nữ đầu tiên nhận giải Abel và có lẽ sẽ không phải là người cuối cùng. Bởi phụ nữ ngày nay tham gia và dẫn đầu rất nhiều lĩnh vực quan trọng trong xã hội loài người, không chỉ kinh doanh, y tế, giáo dục mà cả thiên văn, vật lý và toán học. Với những cô gái trẻ, có thể họ không biết những tài năng quá vãng như Emmy Noether, nhưng những tên tuổi đương đại như Karen Uhlenbeck sẽ là những tấm gương dễ thấy.■